нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Чисел теорія

   
 

Чисел теорія, наука про цілих числах. Поняття цілого числа , а також арифметичних операцій над числами відомо з давніх часів і є однією з перших математичних абстракцій.

Особливе місце серед цілих чисел, тобто чисел ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., займають натуральні числа - цілі позитивні числа 1, 2, 3, ... - їх властивості та операції над ними. Всі натуральні числа, великі одиниці, розпадаються на 2 класи: до 1-го класу відносяться числа, що мають рівно два натуральних дільники, саме одиницю і самого себе, до 2-го - всі інші. Числа 1-го класу стали називати простими, а 2-го - складовими. Властивості простих чисел і їх зв'язок з усіма натуральними числами вивчалися Евклидом (3 в. До н. Е..). Якщо виписувати прості числа підряд, то можна помітити, що відносна щільність їх убуває: на перший десяток їх доводиться 4, тобто 40%, на сотню - 25, тобто 25%, на тисячу - 168, т. е. "17%, на мільйон - 78 498, т. е." 8%, і т.д., проте їх нескінченно багато (Евклід).

Серед простих чисел попадаються пари таких, різниця між якими дорівнює двом (т. н. прості близнюки), однак кінцівку або нескінченність таких пар не доведена.

Евклід вважав очевидним, що за допомогою множення лише простих чисел можна отримати всі натуральні числа, причому кожне натуральне число уявно у вигляді твору простих чисел єдиним чином (з точністю до порядку множників). Т. о., Прості числа утворюють мультиплікативний базис натурального ряду. Першими завданнями про прості числа були такі: як часто вони розташовані в натуральному ряду і як далеко вони відстоять один від одного. Вивчення розподілу простих чисел привело до створення алгоритму (правила), що дозволяє отримувати таблиці простих чисел. Таким алгоритмом є Ератосфена решето (3 в. До н. Е..). Евклід в "Засадах" вказав спосіб знаходження загального найбільшого дільника двох чисел ( Евкліда алгоритм ), наслідком якого є теорема про однозначне розкладанні натуральних чисел на прості співмножники.

Питання про цілочисельних рішеннях різного виду рівнянь також сходить до старовини. Найпростішим рівнянням в цілих числах є лінійне рівняння аХ + bY = с , де a, b и с - попарно взаємно прості цілі числа. За допомогою алгоритму Евкліда знаходиться вирішення рівняння аХ + bY = 1, з якого потім виходять всі рішення початкового рівняння. Іншим рівнянням в цілих числах є рівняння X2 + Y 2= Z2 (рішення Х = 3, Y = 4, Z = 5 пов'язано з ім'ям Піфагора), всі цілочисельні рішення якого виписані в "Засадах" (кн. X, пропозиція 29) X = r 2-q 2, Y = 2 rq , Z = r 2 + q 2, де r и q - цілі числа. Евклиду було відомо також і рівняння аХ 2 +1 = Y 2, назване згодом Пелля рівнянням . В "Засадах" (кн. X, пропозиція 9) Евклід показав, як знаходити всі його рішення, виходячи з найменшого, для випадку а = 2. Систематичне виклад теорії відомих до того часу рівнянь в цілих числах дано Діофантом в його "Арифметиці" (середина 3 ст. Н. Е..). Ця книга відіграла велику роль у подальшому розвитку тієї частини Ч. т., яка займається вирішенням рівнянь в цілих числах, званих тепер діофантових рівняннями .

Наступний етап у розвитку Ч. т. пов'язаний з ім'ям П. Ферма , якому належить ряд видатних відкриттів в теорії діофантових рівнянь і в теорії, пов'язаної з делимостью цілих чисел. Їм була висунута гіпотеза, що отримала назву Ферма велика теорема , і доведена теорема, відома як Ферма мала теорема , яка відіграє важливу роль в теорії порівнянь та її пізніших узагальненнях. Продовжуючи дослідження Ферма по теорії подільності чисел, Л. Ейлер довів теорему, узагальнюючу малу теорему Ферма. Йому належать також і перші докази великої теореми Ферма для показника n = 3.

До початку 18 в. в науці про цілих числах накопичилося багато фактів, що дозволили створити стрункі теорії і загальні методи вирішення завдань Ч. т.

Л. Ейлер був першим з математиків, хто став створювати загальні методи і застосовувати ін розділи математики, зокрема математичний аналіз, до вирішення завдань Ч. т. Досліджуючи питання про число рішень лінійних рівнянь виду

a1X1 + ... + апХп = N ,

де a1, ..., an - натуральні числа, в цілих невід'ємних числах X1, ... , Xn , Л. Ейлер побудував виробляє функцію Ф (z ) від змінної z, коефіцієнти якої при розкладанні за ступенями z дорівнюють числу рішень зазначеного рівняння. Функція Ф (z) визначається як формальне твір рядів

,?,

Т. е. Ф (z) = Ф1(z). ... . Фк (z), кожен з яких сходиться при ? z ? <1 і має досить простий вигляд, будучи сумою членів нескінченної геометричної прогресії:

,?,

Отже,


причому I (N) - число рішень досліджуваного рівняння. Метод виробляють функцій Ейлера послужив витоком кругового методу Харді-Літлвуда, далекосяжних розвитком якого, в свою чергу, з'явився метод тригонометричних сум І. М. Виноградова .

Іншою проблемою Ч. т., що стимулювала створення потужного методу, була проблема простих чисел. Л. Ейлер, доводячи теорему Евкліда про нескінченність числа простих чисел, розглянув твір по всіх простих числах р:


при s> 1. Це твір сходиться, і якщо його розкрити, то в силу однозначності розкладання натуральних чисел на прості співмножники виходить, що воно дорівнює сумі ряду

звідки слід тотожність Ейлера:

, s > 1.

Так як при s = 1 ряд справа розходиться (гармонійний ряд), то з тотожності Ейлера випливає теорема Евкліда. Ця ідея Л. Ейлера лягла в основу пізніших теорій дзета-функції . Л. Ейлера і Х. Гольдбаху належать перші постановки адитивних (тобто пов'язаних зі складанням) завдань з простими числами.

До середини 19 в. в основному було споруджено будинок Ч. т., що пов'язано з іменами К. Гаусса , Ж. Лагранжа , А. Лежандра , П. Дирихле , П. Л. Чебишева , Ж. Ліувілля , Е. Куммера .

К. Гаусс створює теорію порівнянь, звану інакше арифметикою залишкових класів, за допомогою якої були доведені теорема про те, що просте число є сумою двох квадратів тоді і тільки тоді, коли воно має вигляд 4 n + 1, і теорема про уявність кожного натурального числа сумою чотирьох квадратів цілих чисел. Крім того, теорія порівнянь привела до важливих понять теоретико-числового характеру і тригонометричної суми. Найпростішим характером є Лежандра символ .

К. Гаусс вивчив властивості квадратичних відрахувань і невирахувань. Основний теоремою в цьому крузі питань є т. н. квадратичний закон взаємності, при доказі якого К. Гаусс розглянув кінцеві суми вигляду

0 < a, р - 1, а - ціле.

Суми такого вигляду і їх узагальнення стали називати тригонометричними, тому що в силу формули Ейлера eij = cosj? i Sinj вони можуть бути представлені у вигляді суми синусів і косинусів.

К. Гаусс, а потім П. Дирихле, продовжуючи дослідження Л. Ейлера, створили теорію квадратичних форм, іншими словами, - теорію про представлення натуральних чисел формами виду ax 2+ 2 bxy + су 2, де а, b, с - цілі числа.

К. Гаусс і П. Діріхле першими стали розглядати проблему про кількість цілих точок в областях на площині. К. Гаусс довів, що число цілих точок у колі X2 + Y 2 ? R2 одно p R2 + O (R), а П. Дирихле, в свою чергу, довів, що число цілих точок з позитивними координатами під гіперболою xy = N дорівнює

де С - Ейлера постійна . Узагальнення цих двох пропозицій, а також знаходження найкращих можливих залишків в написаних формулах (проблема цілих крапок в крузі Гауса і проблема дільників Дирихле) послужили джерелом великої глави Ч. т.

Теореми про нескінченність числа простих чисел в арифметич. прогресіях приватного виду, таких, як 4 k? 1, 6 k? 1, були відомі давно, проте тільки П. Діріхле вдалося довести загальну теорему про нескінченність числа простих чисел в прогресія виду

nk + l , n = 0, 1, 2, ...,

де k (різниця прогресії) і l (перший її член) взаємно прості. Він розглянув аналог ейлерова твори по всіх простих числах виду

де c (p) задовольняє умовам: не дорівнює тотожно нулю, періодична x ( n + k ) = c (n) з періодом k, цілком мультиплікативна, тобто c ( nm ) = c (n) c (m) при будь-яких цілих n и m. Цю функцію назвали характером Дирихле. За допомогою характерів Дирихле можна "вирізати" арифметичні прогресії. Для кожного натурального k існує j (k) характерів Дирихле (j (k) - Ейлера функція ), причому якщо розглянути суму чисел c (n) по всіх можливих характерам, що відповідає k, то вона дорівнюватиме j (k), якщо п при діленні на k дає залишок 1, інакше - дорівнює 0. При s > 1 виходить аналог тотожності Ейлера:

.

Ряд праворуч в цій рівності називається рядом Дирихле. Вивчаючи поведінку таких рядів при s ? 1 + 0, Дирихле довів свою теорему про нескінченність числа простих чисел в арифметичній прогресії.

Характери Дирихле грають важливу роль як у самій Ч. т., так і в інших розділах математики (алгебри, топології та ін), а ряди Дирихле складають велику главу в сучасній теорії функцій.

Новий підхід до проблеми розподілу простих чисел запропонований П. Л. Чебишевим. Позначимо через p (Х) число простих чисел, що не перевершують Х. Теорема Евкліда стверджує, що p (Х)? + ? при Х? + ?. П. Л. Чебишев довів точніший закон прагнення до нескінченності p ( Х):

де а> 1/2 ln2, b <2ln2, і твердження, що якщо існує межа

при Х ? ?, то ця межа дорівнює 1. П. Л. Чебишеву належить і інше відкриття в теорії простих чисел. За допомогою обчислень було відмічено, що в інтервалі (X, 2 Х), Х ? 2, лежить просте число ; цю гіпотезу назвали постулатом Бертрана. П. Л. Чебишев довів (1852) цю гіпотезу, причому він отримав точніший результат, зменшивши довжину розглянутого інтервалу. Тим самим разом з питанням про прості близнюках, тобто про найменшому значенні різниці p n +1 - р п, виник і став вирішуватися питання про оцінку зверху цій різниці.

Вивчення невизначених рівнянь, і в першу чергу рівняння Ферма, привело до створення нового розділу Ч. т. - теорії алгебраїчних чисел. Е. Куммер, намагаючись довести теорему Ферма, прийшов до рівності

де ai - коріння n-го ступеня з одиниці. Розглядаючи числа виду z + a iy, де z и у - цілі, як "нові цілі числа", Е. Куммер побудував арифметику цілих чисел алгебраїчного числового поля, породженого ai, тобто безлічі чисел, яке виходить з ai шляхом застосування до нього всіх чотирьох арифметичних операцій. Якби в такому полі виконувалася теорема про єдиності розкладання цілих чисел на прості співмножники, то тоді записане вище рівність давало б протиріччя. Однак це не завжди так. Е. Куммер, щоб зберегти справедливість цієї теореми, ввів т. н. ідеальні множники. Виник ряд проблем, вирішення яких призвело до алгебраїчної теорії чисел з великою кількістю нових понять і результатів.

Разом з вивченням властивостей цілих чисел виникло і стало розвиватися новий напрям Ч. т., що вивчає арифметику числової прямої. Вже Л. Ейлер відзначав, що коріння квадратні з цілих чисел і логарифми цілих чисел принципово відрізняються один від одного. Останнє обставина знайшло точну математичну формулювання після робіт Ж. Ліувілля (1844), який ввів поняття алгебраїчних чисел и трансцендентних чисел . Виявляється, алгебраїчні числа "погано" наближаються раціональними дробами. Ж. Ліувілль довів, що якщо число алгебри є коренем рівняння ступеня n, то, наближаючись до нього дробами виду P / Q , де Р и Q - цілі взаємно прості числа, підійти істотно ближче чим Q?n до нього не можна (теорема Ліувілля). Звідси відразу слід існування нескінченного числа неалгебраіч. чисел, які стали називати трансцендентними. Наприклад, таким буде число

Однак питання про алгебраічних і трансцендентності конкретних чисел важкий, і першими були такі питання про класичних постійних p і е. В кінці 19 - початку 20 ст. Ч. т. продовжувала розвиватися по багатьом напрямам, причому для вирішення окремих завдань створювалися загальні методи, застосовні до широкого кола завдань, іноді далеко віддалених від початкових. Часто створені тут методи і поняття дають поштовх розвитку нових напрямів.

Теорія алгебраїчних чисел розділилася на два напрями: один вивчає конкретні числа, доводячи їх трансцендентність, інше вивчає ступінь наближення алгебраїчних чисел раціональними чи алгебраїчними. У першому напрямку загальні методи були створені Ш. Ерміта (1873), довів трансцендентну числа e, і німецьким математиком Ф. Ліндеманом (1882), довів трансцендентну числа p і тим самим вирішили завдання про квадратурі кола . У другому - А. ТУЕ (1909) був запропонований метод, за допомогою якого він довів, що у нерівності Ліувілля до числа алгебри не можна підійти істотно ближче чим Q? n / 2. Наслідком цього стала теорема ТУЕ про кінцівки числа рішень в цілих числах х и у рівняння

a0xn + a 1xn?1 y + ... + a n?1 xy n?1 + a nyn = А ,

де a0, a1,. .. , an,А - цілі числа, n ? 3.

Подальше вивчення простих чисел привело до нового методу в Ч. т., пов'язаному з функцією x (s). Б. Ріман довів, що дзета-функція x (s) Аналітично продовжується на всю площину комплексного змінного, є аналітичною в кожній точці площини, за винятком s = 1, де вона має полюс першого порядку з вирахуванням, рівним 1, задовольняє функціональному рівнянню x (s) = X (1 ?s), Де

Г (s) - гамма-функція, і має нескінченно багато нулів в смузі 0 ? Res = 1 (ці нулі називають нетривіальними, а смугу - критичною). Він встановив тісний зв'язок між нетривіальними нулями x (s) І асимптотическим поведінкою p (х). Вивчення асимптотичної формули для функції Чебишева

де L (n) = Lnp, Якщо n = рк L (n)= 0, якщо n ? pk, Еквівалентно такий же завданню для функції p (х). Функція Y (х) Може бути виражена через інтеграл від виробляє функції - x ? (s) / X (s):

Б. Ріман висловив гіпотезу, що всі нетривіальні нулі x (s) Лежать на прямій Res = 1/2, З чого випливає, що

y (x) =x + O (  ln2x),

Із справедливості будь-який з останніх формул слід гіпотеза Рімана. За аналогічною схемою були вивчені L-Ряди Діріхле. У 1896 Ш. Ла Валле Пуссен і Ж. Адамар довели, що x (s) ? 0 в області Res ? 1, звідки слідувала формула (асимптотичний закон розподілу простих чисел)

Крім цього, Ш. Ла Валле Пуссен довів, що x (s) ? 0 в області

і що

де с и c1 - Позитивні постійні. Такий же результат був отриманий ним і для простих чисел в арифметичних прогресіях: якщо p (х, k, l) - число простих чисел виду kn + 1, n ? х, k и l- взаємно прості числа, то

Метод отримання асимптотичних формул для p (х), Y (х), P (х, k, l), Названий методом комплексного інтегрування, знайшов численні застосування. Основою цього методу служить формула

Теорія квадратичних форм, розпочата роботами Л. Ейлера, К. Гаусса, П. Дирихле, продовжувала свій розвиток в роботах А. Н. Коркина, Є. І. Золотарьова і А. А. Маркова. Зокрема, А. Н. Коркін та Є. І. Золотарьов довели теорему: змінним будь-якої позитивної кватернарні квадратичної форми визначника D можна надати такі цілі значення, що значення форми не буде перевершувати величини  , І існують такі форми, мінімуми яких рівні . Прикладом такої форми є наступна:

.

Дослідження А. А. Маркова відносилися до вивчення мінімумів бінарних квадратичних форм позитивного визначника і привели до цілого ряду нових відкриттів.

Проблеми цілих точок в областях на площині отримали свій подальший розвиток в працях Г. Ф. Вороного, Який створив (1903) метод, за допомогою якого доведено, що залишковий член в асимптотической формулою Дирихле для числа цілих точок під гіперболою має порядок кореня кубічного з головного члена. Пізніше (1906) метод Вороного було перенесено В. Серпіньський на проблему Гауса цілих крапок в крузі з тим же результатом. У цей же час були зроблені спроби знайти вирішення аддитивних проблем Ч. т. і, зокрема, вирішити Варингу проблему. У 1909 вона була вирішена Д. Гильбертом.

Друге, третє і четверте десятиліття 20 в. були виключно багаті новими ідеями і методами в Ч. т. Г. Вейль, Вирішуючи завдання, пов'язані зі стійкістю Сонячної системи, прийшов до поняття рівномірного розподілу дробових доль цілочисельних функцій: дробові частки действітельнозначной функції F (x) Рівномірно розподілені на [0,1) при х = 1,2,3., .., Якщо число влучень дрібних часток F (x) На будь-який інтервал з [0.1) пропорційно довжині цього інтервалу. Він довів, що для рівномірності розподілу дробових доль F (x) Необхідно і достатньо виконання співвідношення:

,

при будь-якому фіксованому ?m?> 0, і отримав нетривіальні оцінки ?S (F) ? у разі, коли F (x) - многочлен, старший коефіцієнт якого є ірраціональне число. І. М. Виноградов, вивчаючи розподіл значень символу Лежандра на відрізках малої довжини порівняно з модулем, довів (1914) нерівність

, X > 0,

з якого випливає, що квадратичних відрахувань і невирахувань на будь-якому відрізку, довжина якого трохи більше  , Асимптотично порівну. Крім того, він висловив гіпотезу, що це буде вірно при Х> рe, Де e> 0 - як завгодно мале число. У 1917 І. М. Виноградов довів, що число цілих точок в області 0 ? f (x), a ? b, При певних обмеженнях на порядок зростання другої похідної f (x), Дорівнює площі цієї області з точністю до доданка порядку кореня кубічного з головного члена. Пізніше чеським математиком В. Ярніка встановлено, що точність цієї формули при зроблених припущеннях щодо f (x) Не можна істотно поліпшити.

Норвезьким математиком В. Бруном доведені (1919) теореми, які в певному сенсі наближалися до проблеми простих близнят і проблеми Ейлера. А саме, їм доведена нескінченність числа пар u1 и u2, Таких, що u1 - U2= 2 і число простих дільників u1 и u2 не перевищує дев'яти; а також разрешимость рівняння u1 + u2 = 2N, З тими ж умовами на u1 и u2

Г. Харді і Дж. Літлвуд опублікували (1922-23) серію мемуарів під загальною назвою "Partitio Numerorum", в яких розвинули загальний метод вирішення аддитивних завдань Ч. т., що отримав згодом назву "кругового". Цей метод (на прикладі вирішення проблеми Варингу) полягає в наступному: нехай

, ,

тоді

де Ik (N) - число рішень рівнянь Варингу, яке знаходять за формулою

.

Г. Харді і Дж. Літлвуд вивчали останній інтеграл при R ? 1 - 0. Окружність інтегрування певним чином розбивається на "великі" і "малі" дуги (від чого і отримав назву метод), при цьому інтеграли по "великим" дугам дають головний член асимптотичної формули для Ik (N), А по "малим" - залишковий. Т. о. отримують асимптотичну формулу величини

де s (N) - деякий "особливий ряд"; s (N) ? с> 0, d> 0 і k ? (n -2) 2n? 1 + 5. За допомогою цього методу Г. Харді і Дж. Літлвуд отримали наступні результати: дали нове вирішення проблеми Варингу, причому у формі точнішою, ніж це було у Д. Гільберта; дали умовне вирішення проблеми Гольдбаха; сформулювали і виписали гіпотетичні формули для кількості рішень великого числа рівнянь з простими числами.

На початку 30-х рр.. 20 в. І. М. Виноградовим був знайдений т. н. метод тригонометричних сум, що дозволив вирішити багато проблем Ч. т. Так, займаючись проблемою Варингу, І. М. Виноградов виявив (1929), що результат Харді - Літлвуда буде значно простіше, якщо замість виробляють рядів розглядати тригонометричні суми вигляду

,

де F (x) - дійсна функція, і користуватися співвідношенням

Тоді Ik (N) В проблемі Варингу запишеться так:

,

де

.

Далі інтервал інтегрування [0,1] розбивається раціональними нескоротних дробом виду a/b, 0 ? а < b ? t, t - параметр, що залежить від N, На підінтервали подібні "великим" і "малим" дугам кругового методу. Інтервали, що відповідають дробям з малими знаменниками, і сума інтегралів по ним дають головний член асимптотичної формули для Ik (N). Інші інтервали відповідають "малим" дугам; для них І. М. Виноградов оцінює ?S (A) ? методом Вейля і отримує залишковий член. До тригонометричним сумам зводяться та ін завдання Ч. т.: розподіл дробових доль функцій, цілі точки в областях на площині і в просторі, порядок зростання дзета-функції в критичній смузі і ін Причому головним в таких завданнях є питання про можливо більш точної оцінці модуля тригонометричної суми. І. М. Виноградов запропонував два методи оцінок тригонометричних сум. Перший метод (1934) дав можливість отримати нові оцінки сум Вейля. Наслідком цього з'явилися сучасні оцінки, виведена асимптотична формула в проблемі Варингу при k ? 4n2lnn, Доведено, що для розв'язання рівняння Варингу при N ? N0(n) Досить не більше 3nlnn + 11n доданків, отримано новий залишковий член в асимптотичних формулах для p (x) І y (х) (І. М. Виноградов, 1957) порядку

, c > 0,

отримано рішення проблеми Гільберта - Камке (К. К. Марджанішвілі, 1953).

Другий метод Виноградова (1937) дозволив оцінити такі тригонометричні суми, в яких підсумовування ведеться по простих числах:

.

Це призвело до доказу асимптотичної формули для числа уявлень непарного числа сумою трьох простих, з якої випливало, що всі чималі непарні числа є сумою трьох простих. Тим самим була вирішена Гольдбаха проблема. Цей метод привів до вирішення інших загальних завдань Ч. т., наприклад проблеми Варингу в простих числах, проблеми розподілу квадратичних відрахувань і невирахувань в послідовностях виду р + а, Де р приймає значення простих чисел.

Розвиток ідей А. Туе (побудова допоміжного многочлена з високою кратністю кореня) і Д. Пойа (США) (ціла аналітична функція, що приймає в цілих позитивних точках цілі значення і зростаюча повільніше 2g?S?, G <1, є многочленом) привело А. О. Гельфонда і ньому. математика Т. Шнейдера (1934) до вирішення 7-й проблеми Гільберта, яка каже трансцендентність чисел виду ab, A ? 0,1, b - алгебраїчне число ступеня ? 2. К. Зігель довів ряд теорем про трансцендентну значень функцій типу ex (Т. н. Е-Функції) у алгебраїчних точках.

У алгебраїчної Ч. т. доведений ряд теорем, узагальнювальних теореми теорії цілих чисел на цілі числа алгебраїчних числових полів; деякі з них привели і до чисто арифметичних результатів, сюди, зокрема, відноситься теорія представлень чисел повними і неповними розкладними формами (найпростішої з таких задач є рівняння Пелля). Розвинена також теорія рішень порівнянь від двох і більше змінних, з якої, наприклад, випливає, що порівняння

F (x, у) ? 0 (mod р),

де F - абсолютно непріводімий многочлен, має  ? Рішень (теорема Хассе - Вейля).

Починаючи з кінця 40-х рр.. і по теперішній час (1978) в Ч. т. з'явилося багато робіт в самих різних напрямках. Дослідження ведуться як в класичних областях, так і в нових. Радянськими математиками Б. Н. Делоне і Д. К. Фаддеева повністю досліджено диофантово рівняння x3- Ау3 = 1 (1940). У теорії дзета-функції Рімана А. Сельберг (Норвегія, 1942) довів, що кінцева частка всіх нулів z (s) Лежить на критичній прямій Res = 1/2; Ю. В. Линник довів, що найменше просте число в арифметичній прогресії з різницею k не перевищує kc, с - постійна, і розробив дисперсійний метод (1958-1961), за допомогою якого вивів асимптотичну формулу для числа уявлень натурального N сумою простого і двох квадратів (проблема Харді - Літлвуда); цим же методом він отримав асимптотичну формулу для числа рішень невизначеного рівняння виду р - а = ху, р ? N, ху ? N, а - фіксоване ціле (проблема простих дільників Тітчмарша). Метод тригонометричних сум Виноградова отримав подальший розвиток в роботах самого І. М. Виноградова та його учнів. Безуспішні спроби довести гіпотезу Рімана привели до ряду методів, які обходять її і в той же час дозволяють вирішити певні завдання Ч. т., що виводяться з цієї гіпотези. Сюди відноситься проблема оцінки різниці pn +1 - рп = Dn, Яка зведена до оцінки числа нулів дзета-функції в прямокутниках виду s ? Res ? 1, s> 1/2, ? Im s? ? Т. З таких "плотностних" теорем і межі нулів x (s), Отриманої на основі методу Виноградова, випливає, що pn +1 - рп = О (рп0,6). До подібного роду результатів прийшли і в теорії розподілу простих чисел в арифметичних прогресіях та її застосуваннях до аддитивним завданням з простими числами.

У теорії трансцендентних чисел англійський математик К. Рот (1955) підсилив метод ТУЕ і довів, що число алгебри не може бути наближене раціональним дробом P / Q істотно точніше, ніж Q ? 2?e, E> 0 - довільно мало; англійський математик А. Бейкер (1966) отримав оцінку знизу лінійної форми логарифмів алгебраїчних чисел, що призвело до ефективного доведенню теореми ТУЕ про кінцівки рішень рівняння

a0xn + a1xn?1y + ... + an-1 xy n-1 + апуn = А

(Вказуються кордони цих рішень) і до ефективного посилення теореми Ліувілля про наближення алгебраїчних чисел раціональними дробами. Велика кількість проблем Ч. т. ще не вирішене (сюди відносяться проблеми простих близнюків, нескінченність простих чисел виду n2 + 1, цілих крапок в крузі і під гіперболою, розподілу нулів дзета-функції, трансцендентність чисел p +е і постійної Ейлера і мн. ін.)

Літ.: Виноградов І. М., Основи теорії чисел, 8 видавництво., М., 1972, його ж, Метод тригонометричних сум в теорії чисел, М., 1971, його ж, Особливі варіанти методу тригонометричних сум, М., 1976; Карацуба А. А., Основи аналітичної теорії чисел, М., 1975; Боревич З. І., Шафаревич І. Р., Теорія чисел, 2 изд., М., 1972; Девенпорт Г., Мультиплікативна теорія чисел, пров. з англ., М., 1971; Чандрасекхаран К., Введення в аналітичну теорію чисел, пров. з англ., М., 1974; Хассе Г., Лекції з теорії чисел, пров. з нім., М., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекції з теорії чисел, пров. з нім., М.-Л., 1936; Тітчмарш Є. К., Теорія дзета-функції Рімана, пров. з англ., М., 1953; Венков Б. А., Елементарна теорія чисел, М.-Л., 1937.

© А. А. Карацуба.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка