Майже періодична функція , функція, значення якої при додаванні до аргументу належним чином обраних постійних чисел (майже періодів) наближено повторюються. Більш точно: безперервна функція f (x), визначена для всіх дійсних значень х, називається майже періодичною, якщо для кожного e> 0 можна вказати таке l = l (e) , що в кожному інтервалі осі х довжини l знайдеться хоча б одне число t = t (e), для якого при будь-якому х виконується нерівність | f (x + t) - f (x) | f (x). Періодична функції суть окремі випадки П. п. ф.; Найпростіші приклади П. п. ф., Які не є періодичними, виходять в результаті складання періодичних функцій з непорівнянними періодами, наприклад cosx + cos x.
Деякі найбільш важливі властивості П. п. ф.: 1) П. п. ф. обмежена і рівномірно неперервна на всій осі х.
2) Сума та добуток кінцевого числа П. п. ф. є також П. п. ф. 3) Межа рівномірно збіжної послідовності П. п. ф. є також П. п. ф.
4) Для кожної П. п. ф. існує середнє значення (на всій осі х): . 5) Кожній П. п. ф. можна зіставити ряд Фур'є: ,
причому l 1, l 2,., l n, ., може бути будь-якою послідовністю відмінних один від одного дійсних чисел і . 6) Рівність Парсеваля: для кожної П. п. ф. справедливо рівність: M {| f (x) | 2} = .
7) Теорема єдиності : якщо f (x) є безперервна П. п. ф. і якщо для всіх дійсних l М {f (х) е-i lx } = 0, то f (x) ? 0. Інакше кажучи, ряд Фур'є однозначно визначає П. п. ф.
8) Теорема апроксимації: для кожного e> 0 можна вказати такий кінцевий тригонометричний поліном (m k - дійсні числа), що для всіх значень х виконується нерівність: | f (x) - P e(x) | f (x) з цим властивістю є П. п. ф.
Перше побудова безперервних П. п. ф. було дано датським математиком Х. Бором (1923). Ще раніше (1893) окремий випадок П. п. ф. - Т. н. квазіперіодичним функції - вивчив латвійський математик П. Біль. Нове побудова теорії П. п. ф. дав Н. Н. Боголюбов (1930). Узагальнення теорії П. п. ф. на розривні функції вперше дано В. В. Степановим (1925), а потім Г. Вейлем і А. Безікович. Узагальнення іншого роду було дано радянським математиком Б. М. Левітаном (1938). Літ.: Бор Г., Майже періодичні функції, пров. з нім., М. - Л., 1934; Левітан Б. М., Майже-періодичні функції, М., 1953.
Виберіть першу букву в назві статті:
|