Головна

   Велика Радянська Енциклопедія

Ритца і Гальоркіна методи

   
 

Ритца і Гальоркіна методи, широко поширені прямі методи рішення головним чином варіаційних задач і крайових задач математичного аналізу (див. Крайові задачі , Варіаційне числення ).

Метод Рітца застосовується здебільшого для наближеного рішення варіаційних завдань і тих крайових задач, які зводяться до варіаційним. Нехай заданий функціонал V [y (x)] (або більш складний функціонал) і потрібно знайти таку функцію у (х), приймаючу в точках x0 и xi задані значення a = у (х0) і b = у (х1), на якій функціонал V [y (x)] сягатиме екстремуму . Значення досліджуваного на екстремум функціоналу V [y (x)] розглядаються не на всіх допустимих в даній задачі функціях у (х), а лише на всіляких лінійних комбінаціях виду

з постійними коефіцієнтами ai, складених з n перших функцій деякої обраної системи j 1(x), j2(х), ..., jп (х), ... (від вдалого вибору цієї системи функцій залежить ефективність застосування методу до вирішення конкретних задач). Необхідною умовою вибору системи функцій j 1(х) є вимога, щоб функції уп (х) задовольняли умовам уп (хо) = a і yn (x1) = a для всіх значень параметрів a 1. При такому виборі функцій уп (х) функціонал V [y (x)] перетворюється у функцію Ф (а1, a 2, ..., a n) коефіцієнтів ai, останні вибирають так, щоб ця функція досягала екстремуму, тобто визначають їх із системи рівнянь

? .

Наприклад, нехай потрібно вирішити завдання про мінімум інтеграла

за умови y (0) = y (1) = 0. В якості функцій j i (x) можна взяти xi (1 - х ), тоді

.

Якщо n = 2, то . Для визначення коефіцієнтів a1 и a2 отримуємо після обчислень два рівняння

;

.

Рішенням цих рівнянь є числа a1 = 71/369 і a2 = 7/ 41 . Отже, . Отримане наближене рішення відрізняється від точного на величину порядку 0,001.

Найденное цим методом наближене рішення уп (х) варіаційної задачі за деяких умов, що стосуються в основному повноти системи функцій j i (x), прагне до точного рішення у (х), коли n? ?.

Метод був запропонований в 1908 німецьким математиком В. Рітцем (W. Ritz). Теоретичне обгрунтування методу дано сов. математиком Н. М. Криловим (1918).

Метод Гальоркіна є широким узагальненням методу Рітца і застосовується головним чином для наближеного рішення варіаційних і крайових задач, в тому числі і тих, які не зводяться до варіаційним. Основна ідея методу Гальоркіна полягає в наступному. Нехай потрібно в деякій області D знайти рішення диференціального рівняння

L [u] = 0???? (1)

(L - деякий диференційний оператор, наприклад за двома змінним), що задовольнить на кордоні S області D однорідним крайовим умовам :

u = 0.???? (2)

Якщо функція u є рішенням рівняння (1) в області D, то функція L [u] тотожно дорівнює нулю в цій області і, отже, ортогональна (див. Ортогональность ) будь функції в області D. Наближене рішення рівняння (1) шукають у вигляді

,???? (3)

де y i ( x, y ) (i = 1, 2, ..., n) - лінійно незалежні функції, що задовольняють крайовим умовам (2) і які є першими n функціями деякої системи функцій y 1( x, у ), y2( х, у ), ..., yп ( х, у ), ..., повної в даній області. Постійні коефіцієнти ai вибирають так, щоб функція L [un] була ортогональна в D першим n функцій системи y i ( x, y ):

???? (4)

.

Наприклад, нехай в області D потрібно вирішити рівняння Пуассона

за умови u = 0 на S. Вибираючи систему функцій y i ( x, y ), шукаємо рішення у вигляді (3). Система рівнянь (4) для визначення коефіцієнтів ai має вигляд:

.

Опції y i ( x, y ) можна, зокрема, вибирати, користуючись такими міркуваннями. Нехай w ( x, y ) - безперервна функція, що має всередині області D безперервні приватні похідні другого порядку і така, що w ( x, y )> 0внутрі D, w ( x, y ) = 0 на S. Тоді в якості системи функцій y i ( x, y ) можна взяти систему, складену з творів w ( x, y ) на різні ступені х и y: , , , ,? Наприклад, якщо кордоном області D є коло S радіуса R з центром на початку координат, то можна покласти w ( x, y ) = R2 - x 2 - y 2.

Метод Гальоркіна застосовується при вирішенні широкого класу задач; більш загальна його формулювання дається в термінах функціонального аналізу для розв'язання рівнянь виду Au - f = 0, де А - лінійний оператор, визначений на лінеале, щільному в деякому гільбертовому просторі H, u - шуканий і f - заданий елементи простору H.

Метод набув поширення після досліджень Б. Г. Гальоркіна (1915); раніше (1913) він застосовувався для вирішення конкретних задач теорії пружності І. Г. Бубновим , у зв'язку з чим іноді іменується методом Бубнова - Гальоркіна. Теоретичне обгрунтування методу належить М. В. Келдишу (1942).

Літ.: Галеркін Б. Г., Стрижні і пластинки. Ряди в деяких питаннях пружної рівноваги стрижнів і пластинок, "Вісник інженерів", 1915, т. 1,? 19, с. 897-908; Михлин С. Г., Варіаційні методи в математичній фізиці, 2 вид., М. - Л., 1970; Канторович Л. В. і Крилов В. І., Наближені методи вищого аналізу, 5 вид., Л. - М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Losung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten", Gottingen, 1908, його ж, Uber ще neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal fur die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.

© В. Г. Карманов.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
© 2014-2022  vre.pp.ua