Головна

   Велика Радянська Енциклопедія

Числення

   
 

Числення, нумерація, сукупність прийомів найменування і позначення чисел. Найбільш досконалим принципом подання чисел є позиційний (помісний) принцип, згідно з яким один і той же числовий знак ( цифра ) має різні значення залежно від того місця, де він розташований. Така система С. грунтується на тому, що деяке число n одиниць (підстава системи С.) об'єднується в одну одиницю другого розряду, n одиниць другого розряду об'єднуються в одну одиницю третього розряду і т. д. Підставою системи С. може бути будь-яке число, більше одиниці. До числа таких систем відноситься сучасна десяткова система С. (з підставою n = 10). У ній для позначення перших десяти чисел служать цифри 0, 1, ..., 9 (див. Десяткова система числення ).

Незважаючи на гадану природність такої системи С., вона стала результатом тривалого історичного розвитку. Виникнення десяткової системи С. пов'язано з рахунком на пальцях. Були системи С. і з іншою підставою: 5, 12 (рахунок дюжинами), 20 (сліди такої системи збереглися у французькій мові, наприклад quatre-vingts, тобто буквально чотири-двадцять, означає 80), 40, 60 та ін При наукових дослідженнях і при обчисленнях на сучасних обчислювальних машинах часто застосовується система С. з основою 2 (див. Двійкова система числення ).

У первісних народів не існувало розвиненої системи С. Ще в 19 в. у багатьох племен Австралії та Полінезії було тільки два числівників: один і два; поєднання їх утворювали числа: 3 - два-один, 4 - два-два, 5 - два-два-один і 6 - два-два-два. Про всіх числах, великих 6, говорили: "багато", що не індівідуалізіруя їх. З розвитком суспільно-господарського життя виникла потреба в створенні систем С., які дозволили б вважати і позначати всі великі сукупності предметів. Однією з найбільш древніх систем С. є єгипетська ієрогліфічна нумерація, що виникла ще за 2500-3000 років до н. е.. Це була десяткова непозиційна система С., в якій для запису чисел застосовувався тільки принцип складання (числа, виражені рядом стоять цифрами, складаються). Спеціальні знаки були для одиниці, десяти, ста? та інших десяткових розрядів 10 7. Кількість 343 записувалося так?. Аналогічними системами С. були грецька геродіанова, римська (див. Римські цифри ), сирійська та ін Більш досконалими системами С. є алфавітні: ионийская, слов'янська (див. Слов'янські цифри ), єврейська, арабська, а також грузинська та вірменська. Першої алфавітній системою С. була, мабуть, ионийская, що виникла в грецьких колоніях в Малій Азії в середині 5 в. до н. е.. В алфавітних системах С. числа від 1 до 9, а також всі десятки і сотні позначаються, як правило, послідовними буквами алфавіту (над якими іноді ставляться рисочки, щоб відрізнити записи чисел від слів). Число 343 в ионийской системі записувалося так :: ? (здесь. ? - 300, - 40, - 3), в слов'янській:. В алфавітних системах С. запис чисел набагато коротше, ніж у попередніх; крім того, над числами, записаними в алфавітній нумерації, набагато легше робити арифметичні дії. Проте в алфавітних системах С. не можна записувати як завгодно великі числа. Греки розширили іонійську нумерацію: числа 1000, 2000, ..., 9000 вони позначали тими ж буквами, що й 1, 2, ..., 9, але ставили штрих внизу ліворуч: так, 'a означала 1000,' b - 2000 і т. д.

Для 10 000 було введено новий знак М. Проте ионийская система С. виявилася непридатною вже для астрономічних обчислень епохи еллінізму, і грецькі астрономи цього часу стали комбінувати алфавітну систему з шестидесятеричной вавілонської - першої відомої нам системою С., заснованої на позиційному принципі. В системі С. древніх вавилонян, що виникла приблизно за 2000 років до н. е.., всі числа записувалися за допомогою двох знаків:? (для одиниці) і? (для десяти). Числа до 60 записувалися як комбінація цих двох знаків із застосуванням принципу складання. Число 60 знову позначалося знаком , будучи одиницею вищого розряду. Для запису чисел від 60 до 3600 знову застосовувався принцип складання, а число 36000 позначалося тим же знаком, що і одиниця, і т. д. Число 343 = 5 60 + 4 . 10 +3 в цій системі записувалося так:. Однак в силу відсутності знака для нуля, яким можна було б відзначати відсутні розряди, запис чисел в цій системі С. була однозначної (див. Клинописні математичні тексти ). Інша система С., заснована на позиційному принципі, виникла у індіанців майя, мешканців півострова Юкатан (Центральна Америка) у середині 1-го тисячоліття н. е.. У майя існували дві системи С.: одна, що нагадує єгипетську, вживалася в повсякденному житті, Інша - позиційна, з основою 20 і особливим знаком для нуля, застосовувалася при календарних розрахунках. Запис у цій системі, як і в нашій сучасній, носила абсолютний характер.

Сучасна десяткова позиційна система С. виникла на основі нумерації, що зародилася не пізніше 5 в. в Індії. До цього в Індії були системи С., в яких застосовувався не тільки принцип складання, але і принцип множення (одиниця якого-небудь розряду збільшується на стоїть ліворуч число). Аналогічно будувалися старокітайском система С. і деякі ін Якщо, наприклад, умовно позначити число 3 символом III, а число 10 символом X, то число 30 запишеться як IIIX (три десятка). Такі системи С. могли служити підходом до створення десяткової позиційної нумерації.

десяткова позиційна система С. дає принципову можливість записувати скільки завгодно великі числа. Запис чисел в ній компактна і зручна для виробництва арифметичних операцій. Тож невдовзі після виникнення десяткова позиційна система С. починає поширюватися з Індії на Захід і Схід. В 9 в. з'являються рукописи арабською мовою, в яких викладається ця система С., в 10 в. десяткова позиційна нумерація доходить до Іспанії, на початку 12 ст. вона з'являється і в інших країнах Європи. Нова система С. отримала назву арабської, бо в Європі з нею познайомилися вперше по латинських перекладам з арабської. Тільки в 16 в. нова нумерація набула широкого поширення в науці і в життєвому побуті. У Росії вона починає поширюватися в 17 в. верб самому початку 18 в. витісняє алфавітну. З введенням десяткових дробів десяткова позиційна система С. стала універсальним засобом для запису всіх дійсних чисел.

Літ.: Кеджорі ф .. Історія елементарної математики з вказівками на методи викладання, пров. з англ., 2 изд., Од., 1917; Леффлер Є., Цифри і цифрові системи культурних народів в давнину і в новий час, пров. з нім., Од., 1913; Вигодський М. Я., Арифметика і алгебра в стародавньому світі, 2 вид., М., 1967; Башмакова І. Г. та Юшкевич А. ГГ., Походження систем числення, в кн.: Енциклопедія елементарної математики, кн. 1, М.-Л., 1951.

© І. Г. Башмакова.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
© 2014-2022  vre.pp.ua