нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Штурма-Ліувілля завдання

   
 

Штурма - Ліувілля завдання, задача про знаходження відмінних від нуля рішень диференціального рівняння

- [p (x) y ']' + q (x) y = ly, (1)

задовольняють граничним умовам виду

A1y (a) + B 1 y '(a) =? 0, А2у (b) + B 2 y '(b) = 0

(т. н. власних функцій ), а також про знаходження значень параметра l (власних значень), при яких існують такі рішення. За деяких умов на коефіцієнти р (х), q (x) Ш.-Л. з. можна звести до розгляду аналогічної задачі для рівняння виду

- y "+ q (x) y = l y. (2)

Була вперше (1837-41) досліджена Ж. Ліувілль і Ж. Ш. Ф. Штурмом .

Рішення деяких видів рівнянь математичної фізики методом Фур'є призводить до Ш. - Л. з. Наприклад, задача про коливання однорідної струни, закріпленої на кінцях, призводить до Ш. - Л. з. для рівняння - у "= lу з граничними умовами y (0) = y (p) = 0. У цьому випадку існує нескінченна послідовність значень 1 2, 2 2, ..., n2, ... , яким відповідають власні функції sin nx , що утворюють на відрізку [0, p] повну ортогональну систему функцій (див. Ортогональна система функцій ). Аналогічно йде справа і в загальному випадку, що виникає, наприклад, при вивченні поширення тепла в неоднорідному стержні і т.д. І тут, якщо функція q (x) в рівнянні (2) неперервна і дійсна на відрізку [a, b], a A1, B1, A2, B2 - дійсні числа, існує зростаюча послідовність дійсних власних значень l 1, ... , l п, ... , яка прагне до нескінченності, причому кожному з l п відповідає певна з точністю до постійного множника власна функція j п (х), що має n нулів на ділянці а <х Опції j п (х) утворюють на [а, b] повну ортогональну систему функцій [для рівняння (1) має місце ортогональность з вагою р (х)] . Повнота такої системи функцій була доведена В. А. Стєкловим в 1896. Вельми загальні теореми про розкладання функцій в ряди Фур'є по системі j п (х) довів Д. Гільберт (1904) за допомогою теорії лінійних інтегральних рівнянь. При зростанні п власні значення і власні функції Ш. ? Л. з. для рівняння (2) прагнуть до власних значень і власних функціях для рівняння - у "= lу при тих же граничних умовах. Більшість зустрічаються в математиці ортогональних систем функцій, наприклад, многочлени Лежандра, многочлени Ерміта, є системами власних функцій деяких Ш. - Л. з.

Іноді Ш. - Л. з. називають крайову задачу для рівняння (1) при більш загальних крайових умовах :

aiy (а) + b i y '(а) + g iy (b) + d i y '(b) = 0, i = 1, 2,

де a i, b i, g i, d i - постійні числа. Серед крайових умов такого виду найбільш важливими є у (а) = у (b), y '(a) = y' (b) (періодичні умови) і у (а) =-у (b), у '(а) =-y '(b) (полуперіодіческіе умови).

Багато задач математичної фізики (наприклад, задача про поширення тепла в нескінченному неоднорідному стержні) призводить до Ш. - Л. з. на півосі або на всій осі. У 1-му випадку розглядаються рішення рівняння (2), що задовольняють умові A1y (0) + B1 y ' (0) = 0; замість послідовності власних функцій тут з'являється сукупність власних функцій j (х, l), що залежать від безперервно змінюється параметра l. Замість розкладання в ряди Фур'є розглядаються розкладання виду

,

де r (l) - деяка неубутна функція. Ці розкладання аналогічні Фур'є інтегралу . При цьому

?

и

.

Аналогічні факти мають місце і для Ш. - Л. з. на всій осі. Для деяких задач математичної фізики важливе значення має зворотна Ш.-Л. з., тобто завдання про відновлення диференціального рівняння по функції r (l). Це завдання було поставлено в окремому випадку В. А. Амбарцумяном , а в більш загальному випадку швед. математиком Г. Бортом і вирішена М. Г. Крейном, І. М. Гельфандом і Б. М. Левітаном.

Ш. - Л. з. виникає також в деяких питаннях квантової механіки і варіаційного числення.

Літ.: Курант Р., Гільберт Д., Методи математичної фізики, пров. з нім., 3 вид., т. 1, М. - Л., 1951; Сансоне Дж., Звичайні диференціальні рівняння, пров. з італ., т. 1, М., 1953; Левітан Б. М., Розкладання за власними функціями диференціальних рівнянь другого порядку, М. - Л., 1950.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка