нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Циліндрові функції

   
 

Циліндрові функції, вельми важливий з точки зору додатків у фізиці і техніці клас трансцендентних функцій , які є рішеннями диференціального рівняння:

??? ? (1)

де n - довільний параметр. До цього рівняння зводяться багато питань рівноваги (пружного, теплового, електричного) і коливань тел циліндричної форми. Рішення, що має вигляд:?

[Де Г (z) - гамма-функція ; ряд справа сходиться при всіх значеннях х], називається Ц. ф. першого роду порядку n. Зокрема, Ц. ф. нульового порядку має вигляд:


Якщо n - ціле негативне: n = - n, то Jn(x) визначається так:

J-n (x) = (- 1) n Jn (x).

Ц. ф. порядку n = m? + 1/2, Де m - ціле число, зводиться до елементарних функцій, наприклад:

,

Функції Jn(x) і рівняння (1) називають також по імені Ф. Бесселя ( Бесселя функції , Бесселя рівняння ). Однак ці функції і рівняння (1) були отримані ще Л. Ейлером при вивченні коливань мембрани в 1766, тобто майже за 50 років до робіт Бесселя ; функція нульового порядку зустрічається ще раніше в роботі Д. Бернуллі , присвяченій коливанню важкого ланцюга (опублікована в 1738), а функція порядку 1/3 в листі Я. Бернуллі до Г. Лейбніцу (1703 ) .

Якщо n не є цілим числом, то загальне рішення рівняння (1) має вигляд

y = C1Jn(x) + C 2J-n(x),???? (2)

де C1 и C2 ? - постійні. Якщо ж n - ціле, то Jn(x) і J-n (x) лінійно залежні, і їх лінійна комбінація (2) вже не є загальним рішенням рівняння (1). Тому, поряд з Ц. ф. першого роду, вводять ще Ц. ф. другого роду (звані також функціями Вебера):

За допомогою цих функцій загальне рішення рівняння (1) може бути записано у вигляді

у = C 1Jn (x) + C2Yn(x)

(як при цілому, так і при нецілі n).

У додатках зустрічається також Ц. ф. уявного аргументу??

и


(Функція Макдональда). Ці функції задовольняють рівняння

спільне рішення якого має вигляд

y = C1ln(x) + C2Kn(x)

(як при цілому, так і нецілі n). Часто вживаються ще Ц. ф. третього роду (або функції Ганкеля)

,

а також функції Томсона ber (х) і bei (x), що визначаються співвідношенням

ber (x) + i bei (x) = I0(x ).

Важливу роль грають асимптотичні вирази Ц. ф. для великих значень аргументу:

,

,

,

,

з яких, зокрема, випливає, що Ц. ф. Jn(x) І Yn(x) мають нескінченну безліч дійсних нулів, розташованих так, що далеко від початку координат вони як завгодно близькі до нулях функцій, відповідно,

? та

Ц. ф. вивчені дуже детально і для комплексних значень аргументів. Для обчислень існує велике число таблиць Ц. ф.

Літ.: Смирнов В. І., Курс вищої математики, 8 видавництво., Т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основи теорії спеціальних функцій, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теорія бесселевих функцій, пров. з англ., ч. 1-2, М., 1949; Бейтмен Р., Ердей А., Вищі трансцендентні функції, пров. з англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка