нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Впорядковані і частково впорядковані множини

   
 

Впорядковані і частково впорядковані множини (математічексіе), безлічі, в яких яким способом встановлений порядок проходження їх елементів або, відповідно, частковий порядок. Поняття порядку і часткового порядку проходження елементів визначаються наступним чином. Кажуть, що для пари елементів х, у безлічі М встановлено порядок, коли вказано, який з цих елементів слід за іншим (якщо у слід за х або, що те ж саме, х передує у, то пишуть х ? у, у ? х ). Кажуть, що в безлічі М встановлений частковий порядок проходження елементів, якщо для деяких пар його елементів встановлено порядок, причому виконані наступні умови: 1) ніякої елемент не слід сам за собою, 2) якщо х ?у и у ? z , то х ?z (транзитивність відносини порядку). Може статися, що в частково впорядкованій множині М порядок не встановлено ні для якої пари елементів М. З ін боку, може статися, що порядок встановлений для всіх пар різних елементів М, в цьому випадку частковий порядок проходження елементів, встановлений в безлічі М, називають просто порядком проходження елементів, або лінійним порядком (впорядковані множини, таким чином, є видом частково впорядкованих множин). Наприклад, будемо вважати, що комплексне число a? + B? I слід за комплексним числом і а + bi, якщо a? > A и b? > B. Будь-яке безліч комплексних чисел стає тоді частково упорядкованим. Зокрема, частково упорядкованим стає будь-яке безліч дійсних чисел (розглянутих як спеціальний випадок комплексних). Т. к. при цьому порядок проходження такий, що дійсне число a? Слід за дійсним числом а тоді і тільки тоді, коли a? Більше а, то всяке безліч дійсних чисел виявляється навіть просто упорядкованим. Поняття частково упорядкованого (інакше = напіввпорядкованих) і упорядкованої множини належать до числа основних загальних понять математики (див. Безлічі теорія ),

Цілком впорядковані множини. Впорядковане безліч називається цілком упорядкованим, якщо кожне його підмножина має першим елементом (тобто елементом, за яким слідують всі інші). Всі кінцеві впорядковані множини цілком упорядковані. Натуральний ряд, упорядкований за зростанням (а також деякими ін способами), утворює цілком упорядкований безліч. Важливість цілком упорядкованих множин визначається головним чином тим, що для них справедливий принцип трансфинитной індукції (див. Трансфінітні числа ).

Впорядковані множини, мають однаковий порядковий тип, володіють і однаковою потужністю, так що можна говорити про потужність даного порядкового типу. З ін боку, кінцеві впорядковані множини однакової потужності мають один і той самий порядковий тип, так що кожної кінцевої потужності відповідає певний кінцевий порядковий тип. Положення змінюється при переході до нескінченних множинам. Два нескінченних упорядкованих множини можуть мати одну і ту ж потужність, але різні порядкові типи.

Спрямовані множини. Частково впорядкована множина називається спрямованим, якщо для всяких його елементів х и у існує такий елемент z, що z ? х и z ?у (a ?b означає, що або a ? b, або а = b ). Поняття спрямованої множини дозволяє дати дуже загальне визначення межі. Нехай f (p) - числова (для простоти) функція, задана на направленому множині М; число с називається межею f (p) по спрямованій множини М, якщо для всякого e> 0 знайдеться такий елемент , що для всіх p з М таких, що р ? р виконується нерівність . Це визначення дозволяє встановити всі звичайні властивості межі і охоплює досить широкий клас окремих випадків.

Історична довідка. Теорію упорядкованих множин створив Г. Кантор . У 1883 він ввів поняття цілком упорядкованої множини і порядкового числа, а в 1895 = поняття упорядкованої множини і порядкового типу. В 1906 = 07 С. О. Шатуновский сформулював визначення спрямованої множини (у Шатуновського = розташований комплекс) і межі по спрямованій множини (амер. математиками Е . Г. Муром і Г. Л. Смітом ці ж поняття були розглянуті незалежно від Шатуновського, але значно пізніше = у 1922). Загальне поняття частково впорядкованої множини належить Ф. Хаусдорфу (1914).

Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію множин і функцій, М. = Л., 1948; Курош А. Г., Лекції з загальної алгебри, 2 вид., М., 1973; Хаусдорф Ф., Теорія множин, пров. з нім., М. = Л., 1937; Куратовський К., Мостовскіq А., Теорія множин, пров. з англ., М., 1970; Бурбак Н., Теорія множин, пров. з франц., М., 1965.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка