нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Пружності теорія

   
 

Пружності теорія , розділ механіки , в якому вивчаються переміщення, деформації та напруги, що виникають у покояться або рухомих пружних тілах під дією навантаження. У. т. - теоретична основа розрахунків на міцність, деформованість і стійкість в будівельній справі, авіа-і ракетобудуванні, машинобудуванні, гірничій справі та ін областях техніки і промисловості, а також у фізиці, сейсмології, біомеханіки та ін науках. Об'єктами дослідження методами У. т, є різноманітні тіла (машини, споруди, конструкції та їх елементи, гірські масиви, греблі, геологічні структури, частини живого організму і т.п.), які під дією сил, температурних полів, радіоактивних опромінень і др. впливів. У результаті розрахунків методами У, т. визначаються допустимі навантаження, при яких в розраховується об'єкті не виникають напруги або переміщення, небезпечні з точки зору міцності або неприпустимі за умовами функціонування; найбільш доцільні конфігурації та розміри споруд, конструкцій та їх деталей; перевантаження, що виникають при динамічному впливі, наприклад при проходженні пружних хвиль , амплітуди і частоти коливань конструкцій або їх частин і виникаючі в них динамічні напруги; зусилля, при яких розраховується об'єкт втрачає стійкість. Цими розрахунками визначаються також матеріали, найбільш відповідні для виготовлення проектованого об'єкта, або матеріали, якими можна замінити частини організму (кісткові і м'язові тканини, кровоносні судини і т. п,). Методи У. т. ефективно використовуються і для вирішення деяких класів задач теорії пластичності (в методі послідовних наближень).

Фізичні закони пружності матеріалів, надійно перевірені експериментально і мають місце для більшості матеріалів, принаймні при малих (а іноді і дуже великих) деформаціях, відображають взаємно однозначні залежності між поточними (миттєвими) значеннями напруг s і деформацій e, на відміну від законів пластичності, в яких напруження залежать від процесу зміни деформацій (при одних і тих же деформаціях, досягнутих шляхом різних процесів, напруги різні). При розтягуванні циліндричного зразка довжини l, радіуса r, з площею поперечного перерізу F має місце пропорційність між розтягує силою Р, поздовжнім подовженням зразка D l і поперечним подовженням D r, яка виражається равенствами: , , де s 1 = P / F = нормальне напруження в поперечному перерізі, ? = относітельноеудліненіе зразка, ? = відносна зміна поперечного розміру; Е = модуль Юнга (модуль поздовжньої пружності), n = Пуассона коефіцієнт . При крученні тонкостінного трубчастого зразка дотичне напруження t в поперечному перерізі обчислюється за значеннями площі перетину, його радіуса і прикладеного крутного моменту. Деформація зсуву g, обумовлена ??по нахилу утворюючих, пов'язана з t рівністю t = G g, де G = модуль зсуву.

При випробуваннях зразків, вирізаних з ізотропного матеріалу з різних напрямів, виходять одні й ті ж значення Е, G і ??n. У середньому ізотропні багато конструкційні метали і сплави, гума, пластмаси, скло, кераміка, бетон. Для анізотропного матеріалу (деревина, кристали, армовані бетон і пластики, шаруваті гірські породи та ін) пружні властивості залежать від напрямку. Напруга в будь-якій точці тіла характеризується шістьма величинами = компонентами напруг: нормальними напруженнями s хх , s уу , s zz і дотичними напруженнями s ху , s Уz , s zx , Причому s ху = s ух і т.д. Деформація в будь-якій точці тіла також характеризується шістьма величинами = компонентами деформацій: відносними подовженнями e хх , e уу , e zz і зрушеннями e ху , e Уz , e zx , Причому e ху = e ух і т.д.

Основним фізичним законом У. т. є узагальнений Гука закон , згідно з яким нормальні напруги лінійно залежать від деформацій. Для ізотропних матеріалів ці залежності мають вигляд:

, , ,

, , , (1)

де ? - Середня (гідростатична) деформація, l і m = G = Ламі постійні . Т. о., Пружні властивості ізотропного матеріалу характеризуються двома постійними l і m чи якимись вираженими через них двома модулями пружності .

Рівність (1) можна також представити у вигляді

, ..., (2)

,?,

де ?= середнє (гідростатичний) напруга, К = модуль всебічного стиску.

Для анізотропного матеріалу 6 залежностей між компонентами напружень і деформацій мають вигляд:

? (3)

.................. .............................................

З вхідних сюди 36 коефіцієнтів c ij називаються модулями пружності, 21 між собою незалежні і характеризують пружні властивості анізотропного матеріалу.

Для нелінійного пружного ізотропного матеріалу в равенствах (2) усюди замість m входить коефіцієнт , а співвідношення ? замінюється рівністю , де величина e u називається інтенсивністю деформації, а функції Ф и f, універсальні для даного матеріалу, визначаються з дослідів. Коли Ф (e u) досягає деякого критичного значення, виникають пластичні деформації. Закони пластичності при пропорційному зростанні навантажень або напруг (просте нагружение) мають той же вигляд, але з ін значеннями функцій Ф і f (закони теорії малих пружно-пластичних деформацій), а при зменшенні напружень (розвантаженні ) мають місце співвідношення (1) або (2), в яких замість s ij і e ij підставляються їх прирости (різниці двох поточних значень).

Математична задача У. т. при рівновазі полягає в тому, щоб, знаючи діючі зовнішні сили (навантаження) і т. н. граничні умови, визначити значення в будь-якій точці тіла компоненти напружень і деформацій, а також компоненти ux, u y, і z; вектора переміщення кожної частки тіла, тобто визначити ці 15 величин у вигляді функцій від координат x, у, z точок тіла. Вихідними для вирішення цього завдання є диференціальні рівняння рівноваги: ??

,

, (4)

де r = щільність матеріалу, XYZ = проекції на координатні осі діючої на кожну частку тіла масової сили (наприклад, сили тяжіння), віднесені до маси цієї частки.

До трьох рівнянням рівноваги приєднуються 6 рівностей (1) у разі ізотропного тіла і ще 6 рівностей виду:

,?, ,?, (5)

встановлюють залежності між компонентами деформацій і переміщень.

Коли на частину S1 граничної поверхні тіла діють задані поверхневі сили (наприклад, сили контактної взаємодії), проекції яких, віднесені до одиниці площі, рівні Fx, F y, F z, а для частини S2 цієї поверхні задані переміщення її точок j х, jу, jz, граничні умови мають вигляд:

? (на S1) ? (На

) (7)

де

, , , l S2, l

косинуси кутів між нормаллю до поверхні і координатними осями. Перші умови означають, що шукані напруги повинні задовольняти на кордоні l1 трьом равенствам (6), а другі = що шукані переміщення повинні задовольняти на кордоні 2 равенствам (7); в окремому випадку може бути j 3 = = j S1 = j S2 = 0 (частина поверхні x жорстко закріплена). Наприклад, в задачі про рівновагу греблі масова сила = сила тяжіння, поверхня y підошви греблі нерухома, на решті поверхні z діють сили: напір води, тиск різних надбудов, транспортних засобів і т.д. S2 У загальному випадку поставлена ??задача являє собою просторову задачу У. т., вирішення якої важко здійсненне. Точні аналітичні рішення є лише для деяких приватних задач: про вигин і кручення бруса, про контактній взаємодії двох тіл, про концентрацію напружень, про дію сили на вершину конічного тіла та ін Т. к. рівняння У. т. є лінійними, то рішення задачі про спільній дії двох систем сил виходить шляхом підсумовування рішень для кожної з систем сил, діючих окремо (принцип лінійної суперпозиції). Зокрема, якщо для якогось тіла знайдено рішення при дії зосередженої сили в якій-небудь довільній точці тіла, то рішення задачі при довільному розподілі навантажень виходить шляхом підсумовування (інтегрування). Такі рішення, називаються S2 Гріна функціями S1, отримані лише для невеликого числа тіл (необмежений простір, полупространство, обмежене площиною, і деякі ін.) Запропоновано ряд аналітичних методів вирішення просторової задачі У. т.: варіаційні методи (Рітца, Бубнова = Гальоркіна, Кастільяно та ін), метод пружних потенціалів, метод Бетті і ін Інтенсивно розробляються чисельні методи (звичайно-різницеві, метод кінцевих елементів і др .). Розробка загальних методів рішень просторової задачі У. т. = одна з найбільш актуальних проблем У. т.

При вирішенні плоских завдань У. т. (коли один з компонентів переміщення дорівнює нулю, а два інших залежать тільки від двох координат) широке застосування знаходять методи теорії функцій комплексного змінного. Для стрижнів, пластин та оболонок, часто використовуються в техніці, знайдені наближені рішення багатьох практично важливих завдань на основі деяких спрощують припущень. Стосовно до цих об'єктів специфічний інтерес представляють завдання про стійкість рівноваги (див. Стійкість пружних систем У задачі термопружності визначаються напруження і деформації, що виникають внаслідок неоднорідного розподілу температури. При математичної постановці цього завдання в праву частину перших трьох рівнянь (1) додається член

, де a = коефіцієнт лінійного теплового розширення, , x ).

, x задане поле температури. Аналогічним чином будується теорія електромагнітоупругості і пружності піддаються опроміненню тел. T (x1 Великий практичних інтерес представляють завдання У. т. для неоднорідних тіл. В цих завданнях коефіцієнт l, m в рівнянні (1) не є константами, а функціями координат, що визначають поле пружних властивостей тіла, яке іноді задають статистично (у вигляді деяких функцій розподілу). Стосовно до цих завдань розробляються статистичні методи У. т., що відображають статистичну природу властивостей полікристалічних тел. 2 У динамічних задачах У. т. шукані величини є функціями координат і часу. Вихідними для математичного вирішення цих завдань є диференціальні рівняння руху, що відрізняються від рівнянь (4) тим, що праві частини замість нуля містять інерційні члени 3) = і т.д. До вихідним рівнянням повинні також приєднуватися рівняння (1), (5) і, крім граничних умов (6), (7), ще задаватися початкові умови, що визначають, наприклад, розподіл переміщенні і швидкостей частинок тіла в початковий момент часу. До цього типу належать завдання про коливання конструкцій і споруд, в яких можуть визначатися форми коливань та їх можливі зміни, амплітуди коливань і їх наростання або убування в часу, резонансні режими, динамічні напруги, методи збудження і гасіння коливань та ін, а також завдання про поширення пружних хвиль (сейсмічні хвилі і їх вплив на конструкції та споруди, хвилі, що виникають при вибухах і ударах, ТЕРМОПРУЖНОСТІ хвилі і т.д. ).

Однією з сучасних проблем У. т. є математична постановка задач і розробка методів їх вирішення при кінцевих (великих) пружних деформаціях.

Експериментальні методи У. т. (метод многоточечного тензометрирования, поляризаційно-оптичний метод дослідження

напруг, метод Муар та ін) дозволяють в деяких випадках безпосередньо визначити розподіл напружень і деформацій у досліджуваному об'єкті або на його поверхні. Ці методи використовуються також для контролю рішень, отриманих аналітичними і чисельними методами, особливо коли рішення знайдені при якихось спрощують припущеннях. Іноді ефективними виявляються експериментально-теоретичні методи, в яких часткова інформація про шуканих функціях виходить з дослідів.

Літ.: Ляв А., Математична теорія пружності, пров. з англ., М. = Л., 1935; Лейбензон Л. С., Курс теорії пружності, 2 изд., М. = Л., 1947; Мусхелішвілі Н. І., Деякі основні завдання математичної теорії пружності, 5 вид., М., 1966; Тривимірні задачі математичної теорії пружності, Тб., 1968; Лур'є А. І., Теорія пружності, М., 1970; Стретт Дж. В. (лорд Релей), Теорія звуку, пер. з англ., т. 1 = 2, М., 1955; Теорія температурних напружень, пров. з англ., М., 1964; Снеддон І. Н., Беррі Д. С., Класична теорія пружності, пров. з англ., М., 1961; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теорія пружності, пров. з англ., М., 1975. А. А. Ільюшин, В. С. Ленський.

Лит.: Ляв А., Математическая теория упругости, пер. с англ., М. = Л., 1935; Лейбензон Л. С., Курс теории упругости, 2 изд., М. = Л., 1947; Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; Трёхмерные задачи математической теории упругости, Тб., 1968; Лурье А. И., Теория упругости, М., 1970; Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, пер. с англ., т. 1=2, М., 1955; Теория температурных напряжений, пер. с англ., М., 1964; Снеддон И. Н., Берри Д. С., Классическая теория упругости, пер. с англ., М., 1961; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теория упругости, пер. с англ., М., 1975.

© А. А. Ильюшин, В. С. Ленский.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка