нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Рівняння

   
 

Рівняння в математиці, аналітична запис завдання про розшук значень аргументів, при яких значення двох даних функцій рівні. Аргументи, від яких залежать ці функції, називаються зазвичай невідомими, а значення невідомих, при яких значення функцій рівні, = рішеннями (корінням); про такі значення невідомих кажуть, що вони задовольняють даним У. Наприклад, 3 x = 6 = 0 є У. з одним невідомим, а х = 2 є його рішення; x2 + y2 = 25 є У. з двома невідомими, а х = 3, y = 4 є одне з його рішень. Сукупність рішень даного В. залежить від області М значень, що допускаються для невідомих. У. може не мати рішень в М, тоді воно називається нерозв'язним в області М. Якщо У. вирішуване, то воно може мати одне або кілька, або навіть нескінченна безліч рішень. Наприклад, У. x4 = 4 = 0 нерозв'язно в області раціональних чисел, але має два рішення:

x1 = , x 2 == в області дійсних чисел і чотири рішення: x1 = , x 2 == , x 3 = i , x 4 == ? в області комплексних чисел. У. sin x = 0 має нескінченну безліч рішень: xk = k p ( k = 0,? 1,? 2, ...) в області дійсних чисел. Якщо У. має рішеннями всі числа області М, то воно називається тотожністю в області М. Наприклад, У. х = ? є тотожністю в області невід'ємних чисел і не є тотожністю в області дійсних чисел.

Сукупність У., для яких потрібно знайти значення невідомих, що задовольняють одночасно всім цим У., називається системою У.; значення невідомих, що задовольняють одночасно всім У. системи, = рішеннями системи. Наприклад, х + 2 y = 5, 2 x + у = z = 1является системою двох У. з трьома невідомими; одним з рішень цієї системи є х = 1, у = 2, z = 3.

Дві системи У. (або два У.) називаються рівносильними, якщо кожне рішення однієї системи (одного У.) розв'язує ін системи (іншого У. ), і навпаки, причому обидві системи (обидва У.) розглядаються в одній і тій же області (див. Рівносильні рівняння ). Наприклад, У. х = 4 = 0 і 2 x = 8 = 0 рівносильні, тому рішенням обох У. є лише х = 4. Всяка система У. рівносильна системі виду fk (x1, x 2, ..., х п) = 0, де k = 1, 2, ... Процес розвідки рішень У. полягає зазвичай в заміні У. рівносильним. У деяких випадках доводиться заміняти дане У. іншим, для якого сукупність рішень ширше, ніж у даного У. Рішення нового У., які не є рішеннями даного У., називаються сторонніми рішеннями (див. Сторонній корінь ).

Наприклад, зводячи в квадрат У. , отримують В. x - 3 = 4, рішення якого х = 7 є стороннім для вихідного У. Тому, якщо при вирішенні У. робилися дії, що можуть призвести до появи сторонніх рішень (наприклад, зведення У. в квадрат), то всі отримані рішення перетвореного У. перевіряють підстановкою у вихідне У.

Найбільш вивчені У., для яких функції fk є многочленами від змінних x1, x 2, ..., х п, = алгебраїчні У. Наприклад, алгебраїчне У. з одним невідомим має вигляд:

a0xn + a 1x n-1 + ... + a n = 0 (a0 ? 0); (*)

число n називається ступенем У. Рішення алгебраичен. У. було одним з найважливіших завдань алгебри в 16 = 17 ст., коли були отримані формули і методи рішення алгебраїчних У. 3-й і 4-го ступенів (див. Алгебра , Кардано формула ) (правила рішення алгебраїчних У. 1-й і 2-го ступенів були відомі ще в глибоку давнину). Для коренів У. 5-й і вищих ступенів загальної формули не існує, оскільки ці У., взагалі кажучи, не можуть бути вирішені в радикалах (Н. Абель , 1824). Питання про можливість розв'язання алгебраїчних У. в радикалах привів (близько 1830) Е. Галуа до загальної теорії алгебраїчних В. (див. Галуа теорія ).

Кожне алгебраїчне У. завжди має хоча б одне рішення, дійсне або комплексне. Це становить зміст т. н. основної теореми алгебри, суворе доказ якій вперше було дано К. Гауссом в 1799. Якщо a = рішення У. (*), то многочлен a0xn + a 1x n-1 + ... + a n ділиться на х = a. Якщо він ділиться на ( х = a) k, але не ділиться на ( х = a ) k +1 , то рішення a має кратність k. Число всіх рішень У. (*), якщо кожне вважати стільки разів, яка його кратність, дорівнює n.

Якщо f (x) = трансцендентна функція , то У. f (x) = 0 називаються трансцендентним (див., наприклад, Кеплера рівняння ), причому залежно від виду f (x) воно називається тригонометричним У., логарифмическим У., показовим У. Розглядаються також ірраціональні У., тобто У., містять невідоме під знаком радикала. При практичному вирішенні В. зазвичай застосовуються різні наближені методи рішення У.

Серед систем У. найпростішими є системи лінійних У., тобто У., в яких fk суть многочлени першого ступенів щодо x1, x 2, ..., х п (див. Лінійне рівняння ).

Рішення системи У. (не обов'язково лінійних) зводиться, взагалі кажучи, до вирішення одного У. за допомогою т. н. виключення невідомих (див. також Результант ).

В аналітичній геометрії одне У. з двома невідомими інтерпретується за допомогою кривої на площині, координати всіх точок якої задовольняють даним У. Одне У. з трьома невідомими інтерпретується за допомогою поверхні в тривимірному просторі. При цій інтерпретації рішення системи У. збігається із завданням про розвідки точок перетину ліній, поверхонь тощо У. з великим числом невідомих інтерпретуються за допомогою різноманіть в n-мірних просторах.

У теорії чисел розглядаються невизначені У., тобто У. з кількома невідомими, для яких шукаються цілі або ж раціональні рішення (див. Діофантови рівняння ). Наприклад, цілі рішення У. x2 + y 2 = z 2 вид х = m 2-n 2, у = 2 mn, z = m 2 + n 2 де m и n = цілі числа.

З найбільш загальної точки зору, У. є записом задачі про розвідки таких елементів деякого безлічі А, що F (a) = Ф (а ), де F і Ф = задані відображення безлічі А в безліч В. Якщо безлічі А и В є множинами чисел, то виникають У. розглянутого вище виду. Якщо А и В = безлічі точок у багатовимірних просторах, то виходять системи У., якщо ж A и В = безлічі функцій, то залежно від характеру відображення можуть виходити також диференціальні рівняння , інтегральні рівняння та ін види У. Поряд з питаннями знаходження рішення У. в загальній теорії У. різного виду вивчаються питання існування та єдиності розв'язку, безперервної залежності його від тих чи інших даних і т.д.

Термін "У." вживається (у відмінному від зазначеного вище сенсі) і в ін природничих науках, див., наприклад, Рівняння часу (в астрономії), Рівняння стану (у фізиці), Рівняння хімічні , Максвелла рівняння в електродинаміки, Кінетичне рівняння Больцмана в теорії газів.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка