нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Рівняння математичної фізики

   
 

Рівняння математичної фізики, диференціальні рівняння з приватними похідними, а також деякі родинні рівняння інших типів (інтегральні, інтегро-диференціальні і т.д.), до яких призводить математичний аналіз фізичних явищ. Для теорії В. м. ф. характерна постановка завдань у такому вигляді, як це необхідно при дослідженні фізичного явища. Коло В. м. ф. з розширенням області застосування математичного аналізу також неухильно розширюється. При систематизації отриманих результатів з'являється необхідність включити в теорію В. м. ф. рівняння і завдання більш загального вигляду, ніж ті, які з'являються при аналізі конкретних явищ, а проте і для таких рівнянь і завдань характерно те, що їх властивості допускають більш-менш наочне фізичне тлумачення (див. Математична фізика ).

Класифікація рівнянь математичної фізики. значна частина В. м. ф. складають лінійні рівняння з приватними похідними 2-го порядку загального вигляду:

, (1)

де всі коефіцієнти a ij (a ij = a ij ), b i, з і права частина f являють собою задані функції незалежних змінних x1, x 2,. .., х п (n ? 2) , а u = шукана функція тих же аргументів. Властивості рішень рівняння (1) істотно залежать від знаків коренів (алгебраїчного щодо l) рівняння

? = 0, (2)

і тому класифікація рівнянь (1) проводиться у відповідності з цими знаками. Якщо все n коренів рівняння (2) мають однаковий знак, то говорять, що рівняння (1) належить до еліптичного типу; якщо один з коренів має знак, протилежний знаку інших n = 1 коренів, = до гіперболічного типу; нарешті, якщо рівняння (2) має один нульовий корінь, а інші коріння однакового знака, = до параболічного типу. Якщо коефіцієнти a ij постійні, то рівняння (1) належить до певного типу незалежно від значень аргументів, коли ж ці коефіцієнти залежать від x1, ..., х п, то і корені рівняння (2) залежать від x1, ..., х п, а тому рівняння (1) може належати до різних типів при різних значеннях аргументів. В останньому випадку (рівняння змішаного типу) досліджувана область зміни аргументів складається із зон, в яких тип рівняння (1) зберігається. Якщо корінь рівняння (2), переходячи від позитивних значень до негативних, звертається в нуль, то між зонами еліптичності і гіперболічності розташовані зони параболічності (треба відзначити, що і у ряді ін відносин параболічного рівняння займають проміжне положення між еліптичними і гіперболічними). ??

Для лінійних рівнянь з приватними похідними вище 2-го порядку і для систем рівнянь з декількома шуканими функціями класифікація більш складна.

Основні приклади рівнянь математичної фізики.

Хвильовий рівняння :

= найпростіше рівняння гіперболічного типу, а також відповідні неоднорідні рівняння (у правій частині яких додані відомі функції) = телеграфне рівняння і т.д. Рівняння і системи цього типу з'являються при аналізі різних коливань і хвильових процесів. Властивості рівнянь і систем гіперболічного типу багато в чому аналогічні властивостям наведених найпростіших таких рівнянь.

Лапласа рівняння :


= найпростіше рівняння еліптичного типу та відповідне неоднорідне рівняння = Пуассона рівняння . Рівняння і системи еліптичного типу з'являються зазвичай при аналізі стаціонарних станів. Теплопровідності рівняння :

= найпростіший приклад рівняння параболічного типу. Рівняння і системи параболічного типу з'являються зазвичай при аналізі процесів вирівнювання.

Першим прикладом рівнянь змішаного типу з'явилося т.з.. рівняння Трікомі:

Для цього рівняння напівплощина ? служить зоною еліптичності, напівплощина у <0 = зоною гіперболічності, а пряма у = 0 = зоною параболічності.

Ряд завдань математичної фізики приводить до інтегральних рівнянь різних типів. Так, наприклад, інтегральні рівняння Вольтерра виникають в тих завданнях фізики, в яких існує бажаний напрямок зміни незалежного змінного (наприклад, часу, енергії і т.д.). У задачі про крутильні коливання виникає деяке інтегро-диференціальне рівняння .

Постановка завдань і методи розв'язання рівнянь математичної фізики. На першому етапі розвитку теорії В. м. ф. багато зусиль було витрачено на пошук їх спільного рішення. Вже Ж. Д'Аламбер (1747) отримав загальне рішення хвильового рівняння. Грунтуючись на підстановках, що застосовувалися Л. Ейлером (1770), П. Лаплас запропонував (1773) "каскадний метод", що дає загальне рішення деяких ін лінійних однорідних гіперболічних рівнянь 2-го порядку з двома аргументами. Однак таке загальне рішення вдалося знайти в досить рідких випадках; на відміну від звичайних диференціальних рівнянь, для рівнянь з приватними похідними не виділене жодного скільки-небудь значного класу рівнянь, для яких загальне рішення може бути отримано у вигляді досить простої формули. Крім того, виявилося що при аналізі фізичних процесів В. м. ф. зазвичай з'являються разом з додатковими умовами, характер яких корінним чином впливає на напрям дослідження рішення (див. Крайові задачі , Коші завдання ).

Широке поширення набули методи наближеного розв'язання крайових задач, в яких завдання зводиться до вирішення системи алгебраїчних (зазвичай лінійних) рівнянь (див. Ритца і Гальоркіна методи . Сіток метод ). При цьому за рахунок збільшення числа невідомих в системі можна досягти будь-якого ступеня точності наближення.

Літ.: Владимиров В. С., Рівняння математичної фізики, 2 вид., М., 1971; Годунові. К., Рівняння математичної фізики, М., 1971; Соболєв С. Л., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва., М., 1966; Тихонов А. Н., Самара А. А., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва., М., 1972.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка