нижнее белье для полных
მედიცინის კვლევები

   Велика Радянська Енциклопедія

Знаки математичні

   
 

Знаки математичні, умовні позначення, призначені для запису математичних понять, пропозицій і викладок. Наприклад,

(квадратний корінь з двох), 3> 2 (три більше двох) і т.п.

Розвиток математичної символіки було тісно пов'язане із загальним розвитком понять і методів математики. Першими З. м. були знаки для зображення чисел - цифри , виникнення яких, мабуть, передувало писемності. Найбільш древні системи нумерації - вавилонська і єгипетська - з'явилися ще за 3 1/2 тисячоліття до н. е..

Перші З. м. для довільних величин з'явилися багато пізніше (починаючи з 5-4 ст. до н. е..) в Греції. Величини (площі, обсяги, кути) зображувалися у вигляді відрізків, а добуток двох довільних однорідних величин - у вигляді прямокутника, побудованого на відповідних відрізках. В "Засадах" Евкліда (3 в. До н. Е..) Величини позначаються двома буквами - початковою і кінцевою буквами відповідного відрізка, а іноді і однієї. У Архімеда (3 в. До нашої ери) останній спосіб стає звичайним. Подібне позначення містило в собі можливості розвитку літерного обчислення. Однак у класичній античній математиці літерного обчислення створено не було.

Начатки літерного зображення і обчислення виникають в позднеелліністіческую епоху в результаті звільнення алгебри від геометричної форми. Діофант (ймовірно, 3 ст.) Записував невідому (х) і її ступеня наступними знаками:


[ - від грецького терміна dunamiV (dynamis - сила), що позначав квадрат невідомої, ? - від грецького cuboV (k_ybos) - куб]. Праворуч від невідомої або її ступенів Діофант писав коефіцієнти, наприклад 3х 5 зображувалося

(де ? = 3). При додаванні Діофант приписував доданки один до одного, для вирахування вживав спеціальний знак; рівність Діофант позначав буквою i [від грецького isoV (isos) - рівний]. Наприклад, рівняння

(x3 + 8 x) - (5 x2 + 1) = х

у Діофанта записалося б так:

(тут

означає, що одиниця ? не має множника у вигляді ступеня невідомого).

Кілька століть потому індійці ввели різні З. м. для декількох невідомих (скорочення найменувань квітів, що позначали невідомі), квадрата, квадратного кореня, від'ємника числа. Так, рівняння

3х2 + 10 x - 8 = x2 + 1

у записі Брахмагупти (7 в.) мало б вигляд:

йа ва 3 йа 10 ру 8

йа ва 1 йа 0 ру 1

(йа - від йават - Тават - невідоме, ва - від Варга - квадратне число, ру - від рупа - монета рупія - вільний член, точка над числом означає від'ємник число).

Створення сучасної алгебраїчної символіки відноситься до 14-17 ст.; воно визначалося успіхами практичної арифметики і вчення про рівняння. У різних країнах стихійно з'являються З. м. для деяких дій і для ступенів невідомої величини. Проходять багато десятиліть і навіть століття, перш ніж виробляється той чи інший зручний символ. Так, наприкінці 15 і. Н. Шюке і Л. Пачолі вживали знаки додавання і віднімання

(від лат. plus і minus), німецькі математики ввели сучасні + (ймовірно, скорочення лат. et) і -. Ще в 17 в. можна нарахувати близько десятка З. м. для дії множення.

Різні були й З. м. невідомою і її ступенів. У 16 - початку 17 ст. конкурувало більше десяти позначень для одного тільки квадрата невідомою, наприклад се (від census - латинський термін, який служив перекладом грецького dunamiV, Q (від quadratum), , A (2), , Aii, aa , a2 та ін Так, рівняння

x3 + 5 x = 12

мало б у італійського математика Дж. Кардано (1545) вид:

у німецького математика М. Штіфеля (1544):

у італійського математика Р. Бомбелли (1572):

французького математика Ф. Вієта (1591):

у англійського математика Т. Гарріота (1631):

У 16 і початку 17 ст. входять у вживання знаки рівності і дужки : квадратні (Р. Бомбелли , 1550), круглі (Н. Тарталья , 1556), фігурні (Ф. Виет , 1593). В 16 в. сучасний вигляд приймає запис дробів.

Значним кроком вперед у розвитку математичної символіки стало запровадження Вієтом (1591) З. м. для довільних постійних величин у вигляді прописних приголосних букв латинського алфавіту В, D, що дало йому можливість вперше записувати алгебраїчні рівняння з довільними коефіцієнтами і оперувати ними. Невідомі Виет зображував голосними прописними буквами А, Е, ... Наприклад, запис Вієта

[cubus - куб, planus - плоский, тобто В - двовимірна величина; solidus - тілесний (тривимірний), розмірність відзначалася для того, щоб всі члени були однорідні] в наших символах виглядає так:

x3 + 3 bx = d.

Виет з'явився творцем алгебраїчних формул. Р. Декарт (1637) надав знакам алгебри сучасний вигляд, позначаючи невідомі останніми буквами лат. алфавіту х, у, z, а довільні дані величини - початковими буквами а, b, с. Йому ж належить нинішня запис ступеня. Позначення Декарта володіли великою перевагою в порівнянні з усіма попередніми. Тому вони скоро отримали загальне визнання.

Подальший розвиток З. м. було тісно пов'язане із створенням аналізу нескінченно малих, для розробки символіки якого основа була вже великою мірою підготовлена ??в алгебрі.

Дати виникнення деяких математичних знаків

знак

значення

Хто ввів

Коли введений

Знаки індивідуальних об'єктів

?

нескінченність

Дж. Валліс

1655

e

основу натуральних логарифмів

Л. Ейлер

1736

p

відношення довжини кола до діаметру

У. Джонс

Л. Ейлер

1706

1736

i

корінь квадратний з -1

Л. Ейлер

1777 (у пресі 1794 )

ijk

одиничні вектори, орти

У. Гамільтон

1853

П (а)

кут паралельності

Н.І. Лобачевський

1835

Знаки змінних об'єктів

x, yan>

невідомі або змінні величини

Р. Декарт

1637

r

вектор

О. Коші

1853

Знаки індивідуальних операцій

+

додавання

німецькі математики

Кінець 15 в.

=

віднімання

?

множення

У. Оутред

1631

?

множення

Г. Лейбніц

1698

:

поділ

Г. Лейбніц

1684

a2, a 3,?, a n

ступеня

Р. Декарт

1637

 

І. Ньютон

1676

коріння

К. Рудольф

1525

А. Жирар

1629

Log

логарифм

І. Кеплер

1624

log

Б. Кавальєрі

1632

sin

синус

Л. Ейлер

1753

arc.sin

арксинус

Ж. Лагранж

1772

Sh

гіперболічний синус

В. Риккати

1757

Ch

гіперболічний косинус

dx, ddx,?

диференціал

Г. Лейбніц

1675 (у пресі 1684)

x, d

x,?

інтеграл

Г. Лейбніц

1675 (у пресі 1686)

похідна

d2 Г. Лейбніц 3 1675

и ? x

похідна

Ж. Лагранж

1770, 1779

y?

и ? (x)

Dx

різниця

Л. Ейлер

1755

приватна похідна

А. Лежандр

1786

визначений інтеграл

Ж. Фур'є

1819-22

сума

Л. Ейлер

1755

твір

К. Гаусс

1812

S

факторіал

К. Крамп

1808

П

| x |

модуль

К. Вейерштрасс

!

1841

lim

межа

У. Гамільтон,

багато математики

1853,

початок 20 в.

lim

= ?

lim

? ?

дзета-функція

Б. Ріман

1857

n гамма-функція

А. Лежандр

n 1808

x

бета-функція

Ж. Біне

1839

Г

дельта (оператор Лапласа)

Р. Мерфі

1833

В

Набла (оператор Гамільтона)

У. Гамільтон

1853

D

Знаки змінних операцій

jx

функція

N

І. Бернули

1718

fn> x)

Л. Ейлер

1734

Знаки індивідуальних відносин

рівність

Р. Рекорд

1557

& an>

більше

Т. Гаусс

=

1801

| |

паралельність

У. Оутред

1677

перпендикулярність

П. Ерігона

1634

І.

?

Ньютон

у своєму методі флюксий і флюент (1666 і наступні рр..) Ввів знаки для послідовних флюксий (похідних) величини (у вигляді

і для нескінченно малого збільшення

. Дещо раніше Дж.

Валліс

(1655) запропонував знак нескінченності ?.

Творцем сучасної символіки диференціального й інтегрального числень є Г.

^

Лейбніц

. Йому, зокрема, належать вживаються нині З. м. диференціалів

? dx, d

x, d та інтеграла Величезна заслуга у створенні символіки сучасної математики належать Л.

Ейлера o. Він ввів (1734) в загальне вживання перший знак змінної операції, саме знак функції ) (від лат. functio). Після робіт Ейлера знаки для багатьох індивідуальних функцій, наприклад тригонометричних, придбали стандартний характер. Ейлера ж належать позначення постійних (підстава натуральних логарифмів, 1736), p [ймовірно, від грецького perijereia (periphereia) - коло, периферія, 1736], уявної одиниці

(від французького imaginaire - уявний, 1777, опубліковано в 1794). У 19 в. роль символіки зростає. У цей час з'являються знаки абсолютної величини | x | (К. Вейерштрасс

, 1841), вектора 2? (О. 3x

Коші

, 1853), визначника (А. Келі f (x, 1841) та ін Багато теорії, що виникли в 19 ст., наприклад Тензорне числення, не могли бути розвинені без підходящої символіки. е Поряд із зазначеним процесом стандартизації З. м. в сучасній літературі вельми часто можна зустріти З. м., використовувані окремими авторами тільки в межах даного дослідження.

З точки зору математичної логіки, серед З. м. можна окреслити такі основні групи: А) знаки об'єктів, Б) знаки операцій, В) знаки відносин. Наприклад, знаки 1, 2, 3, 4 зображують числа, тобто об'єкти, що вивчаються арифметикою. Знак операції додавання + сам по собі не зображує ніякого об'єкта; він отримує предметний зміст, коли вказано, які числа складаються: запис 1 + 3 зображує число 4. Знак> (більше) є знак відносини між числами. Знак відносини отримує цілком певний зміст, коли вказано, між якими об'єктами ставлення розглядається. До перелічених трьох основних груп З. м. примикає четверта: Г) допоміжні знаки, що встановлюють порядок поєднання основних знаків. Достатнє уявлення про такі знаки дають дужки, що вказують порядок виробництва дій.

Знаки кожної з трьох груп А), Б) і В) бувають двох родів: 1) індивідуальні знаки цілком певних об'єктів, операцій і відносин, 2) загальні знаки "неременних", або "невідомих", об'єктів, операцій і стосунків. Приклади знаків першого роду можуть служити (див. також таблицю): ) Позначення натуральних чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентних чисел і p; уявної одиниці i. ) Знаки арифметичних дій +, -, Ї, ',:; добування кореня

, диференціювання знаки суми (об'єднання) E і твори (перетину) C множин; сюди ж відносяться знаки індивідуальних функцій sin, tg, log і т.п. ) Знаки рівності та нерівності =,>, <, ?, знаки паралельності | | і перпендикулярності ^, знаки приналежності I елемента деякому безлічі і включення I одного безлічі в інше і т.п.

Знаки другого роду зображують довільні об'єкти, операції і відносини певного класу або об'єкти, операції і відносини, підлеглі небудь заздалегідь обумовленим умовам. Наприклад, при записі тотожності (

) (

) =

- b

A1 літери е позначають довільні числа; при вивчення функціональної залежності літери

Б1 у - довільні числа, пов'язані заданих ставленням; при вирішенні рівняння

- 1 = 0

B1 позначає будь-яке число, яке задовольняє даному рівнянню (в результаті вирішення цього рівняння ми дізнаємося, що цій умові відповідають лише два можливих значення +1 і -1).

З логічної точки зору, законно такого роду загальні знаки називати знаками змінних, як це прийнято в математичній логіці, не лякаючись тієї обставини, що "область зміни" змінного може виявитися що складається з одного єдиного об'єкта або навіть "порожній" (наприклад, у разі рівнянь, що не мають рішення). Подальшими прикладами такого роду знаків можуть служити: a + b) Позначення точок, прямих, площин і більш складних геометричних фігур буквами в геометрії. a - b) Позначення a2 f, F, 2 j для функцій і позначення операторного числення, коли однією буквою а и b зображують, наприклад, довільний оператор види: у = х2 Позначення для "змінних відносин" менш поширені, вони знаходять застосування лише в математичній логіці (див. х и Алгебра логіки ) і в порівняно абстрактних, по перевазі аксіоматичних, математичних дослідженнях.

x2 Літ.:

х Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29.

С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что "область изменения" переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже "пустой" (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

A2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.

Б2) Обозначения f, F, j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:

Обозначения для "переменных отношений" менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.

Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
енциклопедія  біляші  морс  шашлик  качка